|
In dit college wordt eerst de basistheorie van complex differentieerbare (of holomorfe) functies op een open verzameling in het complexe vlak behandeld.
Een analytische functie (die lokaal gegeven wordt door een convergente machtreeks) is holomorf en willekeurig vaak complex differentieerbaar. Wanneer een functie eenmaal complex differentieerbaar is, is hij ook meteen willekeurig vaak differentieerbaar en wordt hij (lokaal) gegeven door een convergente machtreeks. Bij het bewijs van deze stelling speelt de Cauchy stelling voor complexe lijnintegralen een grote rol. Van groot belang zijn verder de singulariteiten van complexe functies. Functies met een geïsoleerde singulariteit in een punt p hebben een convergente Laurentreeksontwikkeling rond p (waarin naast positieve ook negatieve machten van de variabele voorkomen). Het residu van zo'n functie in p is de coëfficiënt van de macht -1 in de Laurentreeks. Dit residu kan gebruikt worden voor de berekening van interessante integralen: de zogenaamde residuenrekening.
In het college zal verder aandacht besteed worden aan: tellen van nulpunten en singulariteiten, harmonische functies, conforme afbeeldingen en tenslotte de belangrijke Riemann afbeeldingsstelling.
Het onderwerp heeft toepassingen in nagenoeg alle richtingen in de analyse en is voor een brede groep studenten aan te raden. Het vak is een van de gebonden keuzevakken in het wiskundeprogramma. Zie voor meer informatie de studiepaden op de studentenwebsite.
Leerdoelen:
Na afronding van deze college weet de student:
- dat iedere analytische functie holomorf is en omgekeerd;
- dat sommen, producten, samenstellingen, en inversies van analytische functies ook analytisch zijn,
en kent zij/hij:
- het begrip van de lijnintegraal van een holomorfe functie, en het windingsgetal van een
gesloten kromme t.o.v. een punt;
- de homotopie- and homologie- varianten van de integraalstelling van Chauchy;
- de classificatie van geïsoleerde singulariteiten;
- meetkundige eigenschappen van holomorfe afbeeldingen en de afbeeldingstelling van Riemann;
- de principes van analytische voortzetting.
De student moet kunnen bewijzen:
- dat een holomorfe functie aan de vergelijkingen van Cauchy-Riemann voldoet;
- dat iedere analytische functie holomorf is en omgekeerd;
- de open afbeeldingstelling en Maximum Modilus Principe;
- de lokale en globale integraalformules van Cauchy;
- de stelling van Liouville en de hoofdstelling van de algebra.
De student is in staat om:
- voorbeelden te geven van eenvoudige holomorfe en meromorfe functoes en hun
meetkundige eigenschappen te beschrijiven;
- exp en log functies van complexe variabelen te definieren;
- te manipulieren met formele machtreeksen en hun convergentiestraal te bepalen;
- het type van een geïsoleerde singulariteit te bepalen en het residu berekenen;
- sommige oneigenlijke integralen te berekenen met de residuenrekening;
- nulpunten en polen van een meromorfe functie te tellen in een gegeven domain.
Onderwijsvormen:
Er is twee keer per week een hoorcollege van twee uur, en twee keer per week een werkcollege van twee uur.
Toetsing:
Het eindcijfer C voor dit vak wordt als volgt berekend C = max(M,min((2T+I)/3,M+1))
waar I = inleveropgaves en M = max(T,H) met T = tentamen en H = hertentamen
(de inleveropgaves zijn dus vrijwillig en kunnen alleen maar positief meetellen).
Bij het maken van inleveropgaven mogen studenten met elkaar overleggen, maar de uitwerking die de student inlevert moet door de student zelf geschreven en bedacht zijn. Overschrijven van (delen van) uitwerkingen of het door een andere student laten maken van uitwerkingen is plagiaat/fraude en zal gemeld worden bij de examencommissie.
Herkansing en inspanningsverplichting:
Studenten met een onvoldoende die zich ingespannen hebben voor het vak mogen meedoen aan de herkansing.
Taal van het vak:
Het vak wordt in het Nederlands gegeven en kan in het Engels gegeven worden in het geval dat er Engelstalige uitwisselingsstudenten deelnemen aan het vak.
|
 |
|