SluitenHelpPrint
Switch to English
Cursus: WISB211
WISB211
Functies en reeksen
Cursus informatie
CursuscodeWISB211
Studiepunten (EC)7,5
Cursusdoelen
Zie onder vakinhoud.
Inhoud
Het vak Functies en Reeksen bouwt voort op het vak Analyse. Het is een gebondenkeuzevak, maar is voor vrijwel iedere richting binnen de wiskunde belangrijke voorkennis. Zie voor meer informatie over de studiepaden de studentenwebsite.
 
Inhoud: 
Centraal in dit college staat het thema dat functies beschreven kunnen worden
door middel van reeksen, in het bijzonder machtreeksen en Fourierreeksen.

Ter voorbereiding daarop begint het college met de notie van uniforme convergentie.
Daarbij worden functies opgevat als punten van een verzameling die voorzien 
is van de uniforme metriek, en daarmee een metrische ruimte vormt, zodat we limieten
kunnen nemen. Uniforme limieten van continue functies blijken weer continu 
te zijn. Ook wordt de notie van uniforme convergentie van reeksen van functies
bestudeerd.

Een eerste toepassing van deze notie ligt in de theorie van de machtreeksen.
Daarmee blijken complexe functies beschreven te kunnen worden die complex 
differentieerbaar zijn. Met behulp van de Cauchy-Riemann vergelijkingen 
wordt het begrip complexe differentieerbaarheid gerelateerd aan de in 
het college `Analyse in Meer Variabelen 1' behandelde theorie van totale differentiatie.

Voor functies van een complexe variabele kunnen complexe lijnintegralen gedefinieerd
worden. Uit de in `Analyse in Meer Variabelen 1' behandelde homotopie-invariantie 
van de lijnintegralen van rotatievrije vectorvelden wordt een soortgelijke 
stelling voor complex differentieerbare functies afgeleid: de stelling van Cauchy.
Met deze stelling wordt bewezen dat een complex differentieerbare functie 
altijd lokaal als machtreeks kan worden gegeven.
Ook wordt de hoofdstelling van de algebra bewezen, namelijk dat iedere complex
polynoom van graad minstens 1 een nulpunt (wortel) in het complexe vlak bezit.
Tenslotte blijkt de stelling van Cauchy een fraai hulpmiddel om verscheidene 
oneigenlijke integralen uit te rekenen. 

In het laatste deel van het college wordt de theorie van de reeksen toegepast
op Fourierreeksen (reeksen met als term $a_n \cos nx + b_n \sin nx$).
Het blijkt dat iedere voldoend nette $2\pi$-periodieke functie van een reële variabele
in zo'n Fourierreeks ontwikkeld kan worden. 
Een belangrijk hulpmiddel is het integraal-inproduct van dergelijke functies.
Complexe e-machten geven ten aanzien van dat inproduct een oneindige 
orthonormale basis, en de Fourier-coëfficiënten worden geïnterpreteerd 
als componenten ten aanzien van de basis.
In deze optiek wordt de stelling van Parseval opgvat als oneindig
versie van de stelling van Pythagoras. Toegepast op een eenvoudige functie levert dit
de volgende identiteit van Euler: $\frac{\pi^2}{6) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}.$ 

Onderwijsvormen:

Toetsing:

 
Herkansing en inspanningsverplichting:
Studenten met een onvoldoende die zich ingespannen hebben voor de cursus mogen meedoen aan de herkansing.
 
Taal van het vak:
Het vak wordt in het Nederlands gegeven. 
SluitenHelpPrint
Switch to English