·         Gehele getallen, deelbaarheid, algoritme van Euclides

·         Aritmetische functies

·         Restklassen modulo een positief geheel getal

·         Priemgetallen en factorisatie

·         Kwadratische reciprociteit

·         Dirichlet karakters en Gauss sommen

·         Sommen van kwadraten

·         Kettingbreuken

·         Diophantische vergelijkingen

·         Irrationaliteit en transcendentie

 Voorkennis:
- vereist: Wat is Wiskunde

- aanbevolen: lineaire algebra, groepen, ringen, galoistheorie

 Kennis en inzicht: Na afronding van de cursus kent de student:

·         de belangrijkste structurele aspecten van het systeem van de gehele getallen

·         priemgetallen, factorisatie, deelbaarheid, restklassen en modulo rekenen

·         de kwadratische reciprociteitswet (met bewijs)

·         Dirichlet karakters, Gauss- en Jacobi-sommen

·         elementaire theorie van kettingbreuken

·         enige elementaire theorie van Diophantische vergelijkingen

.         enige elementair theorie van de priemgetallen

·         enige elementaire theorie van irrationale en transcendente getallen

 Vaardigheden: Na afronding van de cursus kan de student:

·         getaltheoretische identiteiten bewijzen, bijvoorbeeld met volledige inductie

·         rekenen met restklassen

·         de kwadratische reciprociteitswet toepassen

·         de eenvoudigere methoden van priemfactorisatie gebruiken;

          enkele meer geavanceerde methoden van priemfactorisatie en toepassingen daarvan begrijpen

·         eenvoudige berekeningen met Dirichlet karakters, Gauss- en Jacobi-sommen uitvoeren

·         werken met kettingbreuken

·         eenvoudige verhandelingen over Diophantische vergelijkingen,priemgetallen, irrationaliteit en transcendentie volgen

 Onderwijsvormen:
twee keer per week een hoorcollege van twee uur gevolgd door een werkcollege van twee uur.

 Toetsvormen:
Tijdens de cursus een viertal toetsen (25%), aan het eind van het blok een schriftelijk tentamen dat voor 75% meetelt in het eindcijfer.

Er is 1 gelegenheid voor herkansing van het schriftelijke tentamen.

 Materiaal:
Diktaat Elementary Number Theory van F. Beukers (verkrijgbaar bij het onderwijssecretariaat)

Contents
 
- divisibility, Euclid's algorithm
- arithmetic functions
- residue classes modulo a positive integer
- prime numbers and factorization
- quadratic reciprocity
- Dirichlet characters and Gauss sums
- sums of squares
- continued fractions
- Diophantine equations
- irrationality and transcendence
 
 
We assume familiarity with the course 'Wat is wiskunde'.
Recommended prerequisites:
linear algebra, groups, rings and Galois theory
 
Goals: At the end of the course the student knows the following concepts
- the most important structures of the integers
- prime numbers, factorization, divisibility, working with residue classes modulo a positive integer
- quadratic reciprocity
- Dirichlet characters and Gauss sums
- elementary theory of continued fractions
- some elementary theory on Diophantine equations
- first properties of prime numbers
- some elementary results on irrational and transcendental numbers
 
Skills: At the end of the course the student has mastered the following skills:
- proving some number theoretic identities, for example with induction
- working with residues modulo positive integers
- applying the law of quadratic reciprocity
- using elementary methods of prime factorization
- understanding some more advanced methods of factorization
- working with continued fractions
- some elementary understanding of Diophantine equations, irrational and transcendental numbers
 
The course consists of hoorcolleges (i.e. lectures) and werkcolleges (i.e. exercise sessions). There are two lectures and two exercise sessions per week, each of length 90 minutes with a 15 minute break.
 
Exams:
 
During the semester there are three short exams, which count for 25% of the final grade.
At the end of the term there is a final exam, which counts for 75% of the final grade. 
 
 
Lecture notes:
The main reference for the course is the following book:
 
F. Beukers, Getaltheorie - Een inleiding, Epsilon Uitgaven 2015, VIJFDE DRUK, ISBN 987-90-5041-147-9
 
You can buy this book from A-Eskwadraat, either in their university shop or online  https://aeskwadraat.itdepartment.nl/home.