Inhoud :
- Motivatie.Het klassieke functiebegrip is ontoereikend voor een aantal doeleinden, zoals onbeperkte differentiatie. Een uitweg wordt gevonden door het introduceren van een nieuwe, ruimere, klasse van objecten, distributies genaamd. (Deze terminologie verwijst naar ladingsverdelingen zoals die voorkomen in de natuurkunde.) De theorie van distributies is van fundamenteel belang in de moderne analyse, met toepassingen in partiële differentiaalvergelijkingen, Fourieranalyse en generalisaties daarvan in de theorie van Liegroepen, (differentiaal)meetkunde, veel onderdelen van de theoretische fysica, etc. Ze opent een nieuwe gedachtewereld maar stelt ook reeds bekende onderwerpen in een nieuw daglicht.
- Testfuncties en Distributies.Distributies zijn lineaire functionalen op een ruimte van testfuncties.
- Differentiatie van Distributies.
- Convergentie van distributies.
- Distributies met compacte drager.
- Coördinatentransformatie.
- Fouriertransformatie en convolutie.
- Fundamentele oplossing van een lineaire partiële differentiaalvergelijking.
Kennis en inzicht. Na afronding van de cursus kent de student:
- De concepten 'testfunctie' en 'distributie', inclusief de precieze wiskundige definitie van belangrijke concrete gevallen.
- De wijze waarop operaties zoals 'differentiatie' en 'Fourier transformatie'van testfuncties op distributies overgeheveld worden.
- De betekenis van convergentie in deze context.
- De definitie van het convolutie product in deze context.
- Het begrip 'Fundamentele Oplossing' van een lineaire partiële differentiaalvergelijking.
- Fundamentele stellingenover de omkeerbaarheid van de Fourier transformatie en over het bestaan van fundamentele oplossingen.
Vaardigheden: Na afronding van de cursus kan de student:
- Rekenen met distributies. Met name valt hieronder het differentiëren van distributies, het werken met coördinatentransformaties, Taylor ontwikkelingen bepalen, vermenigvuldigen met functies, convoluties nemen, Fourier transformeren en het bepalen van de fundamentele oplossing van een concrete lineaire partiëledifferentiaalvergelijking.
Onderwijsvormen: Twee keer per week een hoorcollege van twee uur, en twee uur werkcollege per week.
Toetsvormen: Na afloop is er een tentamen. Aan het begin van de cursus zal bekend gemaakt worden of er via inleveropgaven ook punten te verdienen zijn.
|
 |
|