CloseHelpPrint
 Kies de Nederlandse taal
Course module: WISB311
WISB311
Complex analysis
Course info
Course codeWISB311
EC7.5
Course goals
CONTENT: This course treats the basic theory of complex-differentiable (holomorphic) functions on open domains of the complex plane. An analytic function (that is locally defined by a convergent power series) is holomorphic and is infinitely many times complex-differentiable. If a function is complex-differentiable it automatically has complex derivatives of all orders and can locally be represented by a convergent power series. The proof of these statements is based on Cauchy's Theorem about integrals along paths in the complex plane. A very important topic is singularities of complex functions. A function with an isolated singularity at point P has the convergent Laurent series near P (where together with positive also negative powers are present). The residue of such a function at P is the coefficient corresponding to the power -1 in the Laurent series. The Residue Calculus - that explains how the residues can be used to compute interesting integrals - will also be covered. The course will also treat other topics, including the counting of zeroes and singularities of complex functions, harminic functions, conformal mappings, and the important Riemann Mapping Theorem. The material has applications in practially all parts of Analysis. Moreover, it provides the necessary background knowledge for the course on Riemann Surfaces. PRE-KNOWLEDGE: Functions and series WISB211 KNOWLEDGE AND INSIGHTS: After completing the course, the student knows - that any analytic function is holomorphic and vice versa; - that sums, products, compositions, and inversions of analytic functions are also analytic functions; and (s)he understands - the notion of the integral of a holomorpic functionover a path and the winding number of a closed path w.r.t. a point; - the homotopy- and homology- formulations of Cauchy's Theorem; - the classification of isolated singularities; - geometrical properties of holomorphic maps and the Riemann Mapping Theorem; - principles of analytic continuation. The student should be able to prove - that a holomorphic function satisfies the Cauchy-Riemann equations; - that any analytic function is holomorphic and vice versa; - the Open Mapping Theorem and the Maximum Modilus Principle; - local and global Cauchy's Integral Formules; - Liouville's Theorem and the Fundamental Theorem of Algebra. SKILLS: After completing the course, the student will be able to - give examples of simple holomorphic and meromorphic functions and describe their geometric properties; - define exp and log functions of a complex variable; - manipulate with formal power series and determine their convergence radius; - determine the type of an isolated singularity and compute the residue; - compute certain improper integrals using the Residue Calculus; - count zeroes and poles of a meromorphic function in a given domain. STUDY FORMS: Every week, there is a lecture of 2hrs and a practicum of 2hrs under supervision of a student-assistant. EXAMINATION: At the end of each period, there is a written examination that contributes 45% to the final grade. The remaning 10% can be earned by making written home assignments every week. One retake is allowed, by which the home assigments play no role. BOOK: Serge Lang Complex analysis, 4th edition. Graduate Texts in Mathematics 103. Springer, 1999.
Content
 Inhoud:
In dit college wordt eerst de basistheorie van complex differentieerbare (of holomorfe) functies op een open verzameling in het complexe vlak behandeld.
Een analytische functie (die lokaal gegeven wordt door een convergente machtreeks) is holomorf en willekeurig vaak complex differentieerbaar. Wanneer een functie eenmaal complex differentieerbaar is, is hij ook meteen willekeurig vaak differentieerbaar
en wordt hij (lokaal) gegeven door een convergente machtreeks. Bij het bewijs van deze stelling speelt de Cauchy stelling voor complexe lijnintegralen een grote rol.
Van groot belang zijn verder de singulariteiten van complexe functies. Functies met een geïsoleerde singulariteit in een punt p hebben een convergente Laurentreeksontwikkeling rond p (waarin naast positieve ook negatieve machten van de variabele voorkomen). Het residu van zo'n functie in p is de coëfficiënt van de macht -1 in de Laurentreeks.
Dit residu kan gebruikt worden voor de berekening van interessante integralen: de zogenaamde residuenrekening.
In het college zal verder aandacht besteed worden aan: tellen van nulpunten en singulariteiten,
harmonische functies, conforme afbeeldingen en tenslotte de belangrijke Riemann afbeeldingsstelling.
Het onderwerp heeft toepassingen in nagenoeg alle richtingen in de analyse. Verder is het noodzakelijke voorkennis bij een college over Riemann oppervlakken.
 
Vereiste voorkennis: Functies en Reeksen WISB211

Kennis en inzicht: Na afronding van deze college weet de student
- dat iedere analytische functie holomorf is en omgekeerd;
- dat sommen, producten, samenstellingen, en inversies van analytische functies ook analytisch zijn;
en kent zij/hij
- het begrip van de lijnintegraal van een holomorfe functie, en het windingsgetal van een
  gesloten kromme t.o.v. een punt;
- de homotopie- and homologie- varianten van de integraalstelling van Chauchy;
- de classificatie van geïsoleerde singulariteiten;
- meetkundige eigenschappen van holomorfe afbeeldingen en de afbeeldingstelling van Riemann;
- de principes van analytische voortzetting;
De student moet kunnen bewijzen
- dat een holomorfe functie aan de vergelijkingen van Cauchy-Riemann voldoet;
- dat iedere analytische functie holomorf is en omgekeerd;
- de open afbeeldingstelling en Maximum Modilus Principe;
- de lokale en globale integraalformules van Cauchy;
- de stelling van Liouville en de hoofdstelling van de algebra;

Vaardigheden: De student is in staat om:
- voorbeelden te geven van eenvoudige holomorfe en meromorfe functoes en hun
  meetkundige eigenschappen te beschrijiven;
- exp en log functies van complexe variabelen te definieren;
- te manipulieren met formele machtreeksen en hun convergentiestraal te bepalen;
- het type van een geïsoleerde singulariteit te bepalen en het residu berekenen;
- sommige oneigenlijke integralen te berekenen met de residuenrekening;
- nulpunten en polen van een meromorfe functie te tellen in een gegeven domain.

Onderwijsvormen en contacttijd:
Er is een keer per week een hoorcollege van twee uur, en een keer per week een
werkcollege van twee uur, onder leiding van een studentassistent.
 
Toetsvormen:
Elk blok wordt afgerond met een schriftelijk deeltentamen dat 45% van het eindcijfer levert.
De resterende 10% komen van weekelijks inleveropgaven. Voor het hertentamen tellen de
inleveropgaven niet mee.
 
Materiaal:  Serge Lang Complex analysis, 4th edition. Graduate Texts in Mathematics 103. Springer, 1999.

 
CloseHelpPrint
 Kies de Nederlandse taal