Inhoud in periode 3:
- Totale afgeleide van vector-waardige functies van meerdere veranderlijken, ook hogere orde.
- Inverse en impliciete functie stelling.
- Representatie van deelvariëteiten m.b.v. immersies en submersies.
- Raakruimten aan deelvariëteiten.
Inhoud in periode 4:
- Riemann integratie in Rn
- Voor functies met compacte drager.
- Absolute Riemann integratie.
- Substitutiestelling.
- Herhaalde integratie en verwisseling van integratievolgorde.
- Riemann integratie over deelvariëteiten.
- (Euclidische) dichtheid.
- Divergentiestelling van Gauss.
- Lijnintegralen
- Vectorvelden.
- Primitieve van een vectorveld.
- Stellingen van Green en Stokes.
Vereiste voorkennis: De cursus voltooid de behandeling van de wiskundige analyse die is begonnen met WISB111: Inleiding analyse en waarvan ook enkele aspecten in WISB211: Functies en reeksen aan de orde zijn gekomen. Tevens worden resultaten uit WISB133: Infinitesimaalrekening B vanuit een hoger standpunt bekeken. Ook lineaire algebra speelt in deze cursus een belangrijke rol.
Kennis en inzicht: Na afronding van de cursus kent de student:
- De definitie van de totale afgeleidevan een vector-waardige functie van meerdere veranderlijken, ook de hogere orde totale afgeleiden.
- De formulering en het bewijs van de inverse en de impliciete functie stellingen.
- De formulering en het bewijs van de immersiestelling en de submersiestelling.
- Verschillende equivalente marnieren om een deelvariëteit in Rn te karakteriseren.
- Per karakterisatiemethode van een deelvariëteit in Rn de formule voor de raakruimten aan de deelvariëteit.
- Het onderscheid tussen een oppervlak en een hyperoppervlak in Rn.
- De definitie van de Riemann integraal van een functie op Rn met compacte drager.
- De definitie van absolute Riemann integratie.
- De substitutiestelling en de stelling over de verwisseling der integratievolgorde in het geval van een herhaalde integraal.
- De definitie van integratie over een deelvariëteit in Rn aan de hand van een dichtheid.
- De Euclidische dichtheid, en de explicietere formules in een aantal speciale gevallen, i.h.b. voor een hyperoppervlak.
- De formulering en het bewijs van de divergentiestelling van Gauss.
- De definitie van een vectorveld en van een primitieve van een vectorveld.
- De stelling dat een vectorveld onder bepaalde voorwaarden een primitieve heeft.
- De stellingen van Green en Stokes, als speciale gevallen van de divergentiestelling van Gauss.
Vaardigheden: Na afronding van de cursus kan de student:
- De totale afgeleide van een vector-waardige functie bepalen, het kan hierbij ook gaan om functies wiens waarden lineaire transformaties zijn.
- De inverse en impliciete functie stelling in verschillende contexten toepassen.
- Bewijzen dat een deelverzameling van Rn een deelvariëteit is, of aantonen dat dit niet het geval is.
- In speciale gevallen de overgang tussen de verschillende representaties van een deelvariëteit bepalen.
- De raakruimte aan een deelvariëteit bepalen.
- De Riemann integraal van een functie berekenen m.b.v. de substitutiestelling en herhaalde integratie.
- Oneigenlijke Riemann integralen berekenen met behulp van absolute Riemann integratie.
- Een Riemann integraal over een deelvariëteit bepalen m.b.v. de Euclidische dichtheid.
- Een Riemann integraal over een deelvariëteit berekenen m.b.v. de divergentiestelling van Gauss of de stellingen van Green en Stokes.
Onderwijsvormen: Er is zowel in periode 3 als in periode 4 één keer per week een hoorcollege van twee uur en één keer per week een werkcollege van twee uur onder begeleiding van AiO’s en studentassistenten.
Toetsvormen: Periode 3 en 4 worden beide afgesloten met een deeltentamen. Elk van de deeltentamens tellen voor 50% van het eindcijfer. Daarnaast is het mogelijk om een bonuspunt te verdienen met de wekelijkse inleveropdrachten. Er is een hertentamen, maar de cijfers voor de inleveropdrachten tellen hier niet meer voor mee.
Materiaal:
J.J. Duistermaat, J.A.C. Kolk: Multidimensional Real Analysis, I: Differentiation.
Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0-521-55114-5
J.J. Duistermaat, J.A.C. Kolk: Multidimensional Real Analysis, II: Integration.
Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0-521-82925-9
De boeken zijn te verkrijgen bij Studievereniging A-Eskwadraat met 35% korting voor de set van de twee boeken bij voorintekening en vooruitbetaling. Zie o.a. de website http://www.staff.science.uu.nl/~kolk0101/books.html voor aanvullende informatie.