In dit college wordt eerst de basistheorie van complex differentieerbare (of holomorfe) functies op een open verzameling in het complexe vlak behandeld. Wanneer een functie eenmaal complex differentieerbaar is, is hij ook meteen willekeurig vaak differentieerbaar en wordt hij (lokaal) gegeven door een convergente machtreeks. Bij het bewijs van deze stelling speelt de Cauchy stelling voor complexe lijnintegralen een grote rol. Omgekeerd is een functie die lokaal gegeven wordt door een convergente machtreeks holomorf.

Van groot belang zijn verder de singulariteiten van complexe functies. Functies met een geïsoleerde singulariteit in een punt p hebben een convergente Laurentreeksontwikkeling rond p (waarin naast positieve ook negatieve machten van de variabele voorkomen). Het residu van zo'n functie in p is de coëfficiënt van de macht -1 in de Laurentreeks. Dit residu kan gebruikt worden voor de berekening van interessante integralen: de zogenaamde residuenrekening.

In het college zal verder aandacht besteed worden aan: tellen van nulpunten en singulariteiten, harmonische functies, conforme afbeeldingen en tenslotte de belangrijke Riemann afbeeldingsstelling.

Het onderwerp heeft toepassingen in nagenoeg alle richtingen in de analyse. Verder is het noodzakelijke voorkennis bij een college over Riemann oppervlakken.